Question

7．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	${\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）}^2}$	${\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）}^2}$	$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）}（{y_i}-\overline y）$	$\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）}（{y_i}-\overline y）$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{x_i}$，$\overline w=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8{w_i}$
（1）若根據(jù)散點圖用y=c+d$\sqrt{x}$表示年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求c，d的值；
（2）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x，根據(jù)（1）的結果回答下列問題：（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：β=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{v_i}-\overline v）（{u_i}-\overline u）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$α=$\overline v-β\overline u$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)散點圖，即可判斷出結論，建立線性回歸方程，求出d、c的值；
（2）（i）由（1）計算年銷售量y的預報值與利潤值；
（ii）根據(jù)（Ⅱ）的結果求出年利潤z的函數(shù)，求出年利潤的最大值．

解答 解：（1）由散點圖可以判斷，y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型；
令w=$\sqrt{x}$，先建立y關于w的線性回歸方程，由于d=$\frac{108.6}{1.6}$=68，
c=y-dw=563-68×6.8=100.6，
所以y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，
因此y關于x的回歸方程為y=100.6+68$\sqrt{x}$，
（2）（i）由（1）知，當x=49時，年銷售量y的預報值y=100.6+68$\sqrt{x}$=576.6，
年利潤z的預報值z=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根據(jù)（1）的結果可知，年利潤z的預報值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8時，年利潤的預報值最大，為66.36千元．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是本題的關鍵，屬于中檔題．