Question

在△ABC中，若tanA∶tanB=a²∶b²,試判斷△ABC的形狀.

Answer 1

分析：可從問題已知條件出發(fā)，尋找到三角形的邊與邊或角與角之間的關(guān)系，然后判斷.

解法一:由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得=,

∵A,B為三角形的內(nèi)角,∴sinA≠0,sinB≠0.

∴.∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A=π-2B.

∴A=B或A+B=.

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.

解法二：由已知和正弦定理可得：

.

由正弦定理和余弦定理得,

整理得a⁴-a²c²+b²c²-b⁴=0,

即(a²-b²)(a²+b²-c²)=0.∴a²=b²或a²+b²-c²=0.∴a=b或a²+b²=c².

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

溫馨提示

    已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，有兩條思考路線：（1）化邊為角,再進(jìn)行三角恒等變換求出三個(gè)角之間的關(guān)系式；

（2）化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系式，兩種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理.