Question

12．已知函數(shù)f（x）=1nx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1，a∈R，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 由題意先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+1-a=$\frac{（x+1）（-ax+1）}{x}$，從而討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+1-a=$\frac{（x+1）（-ax+1）}{x}$；
①當(dāng)a≤0時，-a≥0，故f′（x）＞0；故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）＞0知，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．