Question

10．若過點P（a，a）與曲線f（x）=xlnx相切的直線有兩條，則實數a的取值范圍是（e，+∞）．

Answer 1

分析 設切點為（m，mlnm），求出導數，求得切線的斜率，由兩點的斜率公式可得$\frac{1}{a}$=$\frac{lnm}{m}$，設g（m）=$\frac{lnm}{m}$，求出導數和單調區(qū)間，可得最大值，由題意可得0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{e}$，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：設切點為（m，mlnm），f（x）=xlnx的導數為f′（x）=1+lnx，
可得切線的斜率為1+lnm，
由切線經過點P（a，a），可得1+lnm=$\frac{mlnm-a}{m-a}$，
化簡可得$\frac{1}{a}$=$\frac{lnm}{m}$，（*），
由題意可得方程（*）有兩解，
設g（m）=$\frac{lnm}{m}$，可得g′（m）=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$，
當m＞e時，g′（m）＜0，g（m）遞增；
當0＜m＜e時，g′（m）＞0，g（m）遞減．
可得g（m）在m=e處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$，
即有0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{e}$，解得a＞e．
故答案為：（e，+∞）．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查函數方程的轉化思想，以及運算能力，屬于中檔題．