Question

已知兩個(gè)等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足a₁＝a(a＞0)，b₁－a₁＝1，b₂－a₂＝2，

b₃－a₃＝3.

(1)若a＝1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{a_n}唯一，求a的值．

Answer 1

解析　(1)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則b₁＝1＋a＝2，b₂＝2＋aq＝2＋q，b₃＝3＋aq²＝3＋q²，由b₁，b₂，b₃成等比數(shù)列得(2＋q)²＝2(3＋q²)．

即q²－4q＋2＝0，解得q₁＝2＋，q₂＝2－.

所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝(2＋)^n－1或a_n＝(2－)^n－1.

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則由(2＋aq)²＝(1＋a)(3＋aq²)，得aq²－4aq＋3a－1＝0(*)，

由a＞0得Δ＝4a²＋4a＞0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根．

由數(shù)列{a_n}唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a＝.