Question

5．一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，某月的產(chǎn)量如下表（單位：輛）：

類別	A	B	C
數(shù)量	400	600	a

按分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在A，B類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛A類轎車的概率；
（Ⅲ）用隨機抽樣的方法從A，B兩類轎車中各抽取4輛，進行綜合指標評分，經(jīng)檢測它們的得分如圖，比較哪類轎車綜合評分比較穩(wěn)定．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抽樣比，求和求解a即可．
（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣的抽樣比得到m，樣本中有A類2輛B類3輛，分別記作A₁，A₂，B₁，B₂，B₃，則從中任取2輛的所有基本事件．其中至少有1輛A類轎車的基本事件，然后求出從中任取2輛，至少有1輛A類轎車的概率．
（Ⅲ）求出平均數(shù)與方程，比較即可推出結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得，$\frac{50}{400+600+a}×400=10$，所以a=1000--------------------（3分）
（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣可得，$\frac{400}{1000}=\frac{m}{5}$，解得m=2-------------------（4分）
∴樣本中有A類2輛B類3輛，分別記作A₁，A₂，B₁，B₂，B₃，則從中任取2輛的所有基本事件為（A₁，A₂） （A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃） （A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃）共10個，
其中至少有1輛A類轎車的基本事件有7個：（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃） （A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），所以從中任取2輛，至少有1輛A類轎車的概率為$\frac{7}{10}$．----------------------（6分）
（Ⅲ）$\overline{x_A}=\frac{86+83+92+91}{4}=\frac{352}{4}=88$，$\overline{x_B}=\frac{85+94+92+93}{4}=\frac{364}{4}=91$--------（8分）
∴$s_A^2=\frac{4+25+16+9}{4}=13.5$，$s_B^2=\frac{36+9+1+4}{4}=12.5$----------------------（10分）
∵12.5＜13.5，∴B類轎車成績較穩(wěn)定．----------------------（12分）

點評 不考查古典概型的概率的求法，分層抽樣的應用，考查計算能力．