已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a
n}滿足a
n+12=2a
n2+a
na
n+1，且a
2+a
4=2a
3+4，其中n∈N*，
(Ⅰ)求數(shù)列{a
n}的通項公式；
(Ⅱ)設數(shù)列{b
n}的前n項和為T
n，令b
n=a
n2，其中n∈N*，試比較
與
的大小，并加以證明。
解：(Ⅰ)因為
，
即(a
n+1+a
n)(2a
n-a
n+1)=0，
又a
n＞0，
所以有2a
n-a
n+1=0，
所以，2a
n=a
n+1，
所以數(shù)列{a
n}是公比為2的等比數(shù)列，
由a
2+a
4=2a
3+4，得2a
1+8a
1=8a
1+4，解得：a
1=2，
故數(shù)列{a
n}的通項公式為
。
(Ⅱ)因
，所以，
，
即數(shù)列{b
n}是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，
所以，
，
則
，
又
，
，
猜想：
，
①當n=1時，
，上面不等式顯然成立；
②假設當n=k時，不等式
成立，
當n=k+1時，
；
綜上①②對任意n∈N*均有
，
又
，
∴
，
所以對于任意n∈N*均有
。
練習冊系列答案
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已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a
n}滿足a
n+12=2a
n2+a
na
n+1，a
2+a
4=2a
3+4，其中n∈N
*．
（Ⅰ）求數(shù){a
n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù){b
n}的前n項和T
n，令b
n=a
n2，其中n∈N
*，試比較
與
的大小，并加以證明．
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已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+12=2an2+anan+1，a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．
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（Ⅱ）設數(shù){bn}的前n項和Tn，令bn=an2，其中n∈N*，試比較
與
的大小，并加以證明．
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2+a
4=2a
3+4，其中n∈N
*．
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n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù){b
n}的前n項和T
n，令b
n=a
n2，其中n∈N
*，試比較
與
的大小，并加以證明．
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科目：高中數(shù)學
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*．
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n}的通項公式；
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n，令b
n=a
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*，試比較
與
的大小，并加以證明．
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科目：高中數(shù)學
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