Question

（2012•紅橋區(qū)一模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且滿足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（Ⅲ）設(shè)b_n=2a_n-1，求使不等式(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…（1+

1

bn

）≥m

2n+1

對一切n∈N^*均成立的最大實(shí)數(shù)m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，分別令n=1、2、3 可得a₁，a₂，a₃ 的值．
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式為 a_n=n，用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（Ⅲ）由題意可得 m≤

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

2n+1

．由于b_n=2a_n-1=2n-1，設(shè)F（n）=

1

2n+1

•(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…（1+

1

bn

）=（1+

1

1

）•（1+

1

3

）•（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

），化簡 

F(n+1)

F(n)

的值大于1，
即F（n）是隨n的增大而增大，故F（n）的最小值為F（1）=

2 3

3

，由此可得m的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由于數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且滿足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*），
令n=1可得2S₁=2a₁=a12+1，解得a₁ =1．
再令n=2可得 2（1+a₂）=a22+2，解得a₂ =2，同理求得a₃=3．
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式為 a_n=n．
證明：當(dāng)n=1時，顯然a_n=n成立．
假設(shè)n=k時，命題成立，即 a_k=k，則 a_k+1=S_k+1-S_k=

ak+12+k+1

2

-

ak2+k

2

=

ak+12-k2+1

2

，
化簡可得 ak+12-2a_k+1+1-k²=0，解方程求得a_k+1=k+1，
故當(dāng)n=k+1時，a_n=n還成立．
綜上可得 a_n=n對所有的正整數(shù)都成立．
（Ⅲ）由不等式(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…（1+

1

bn

）≥m

2n+1

對一切n∈N^*均成立，
可得 m≤

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

2n+1

．
由于b_n=2a_n-1=2n-1，設(shè)F（n）=

1

2n+1

•(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…（1+

1

bn

）
=

1

2n+1

•（1+

1

1

）•（1+

1

3

）•（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

），
則

F(n+1)

F(n)

=

1 2n+3 (1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn+1 )

1 2n+1 (1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1，
F（n+1）＞F（n），即F（n）是隨n的增大而增大，故F（n）的最小值為F（1）=

2

3

=

2 3

3

，∴m≤

2 3

3

，
即 m的最大值為

2 3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬于難題．