Question

5．已知變量x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-15≤0，}&{\;}\\{x-3y-5≤0，}&{\;}\\{x≥a，}&{\;}\end{array}\right.$使得y≤3^x恒成立的實(shí)數(shù)a的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 畫(huà)出約束條件的可行域，利用指數(shù)式恒成立，轉(zhuǎn)化求解a的最小值即可．

解答 解：變量x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-15≤0，}&{\;}\\{x-3y-5≤0，}&{\;}\\{x≥a，}&{\;}\end{array}\right.$的可行域如圖：
變量x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-15≤0，}&{\;}\\{x-3y-5≤0，}&{\;}\\{x≥a，}&{\;}\end{array}\right.$
使得y≤3^x恒成立，
可知可行域的A是最優(yōu)解，此時(shí)3^x取得最大值，由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{3x+y-15=0}\end{array}\right.$，
可得A（a，15-3a），
15-3a≤3^a，此時(shí)a≥2，
變量x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-15≤0，}&{\;}\\{x-3y-5≤0，}&{\;}\\{x≥a，}&{\;}\end{array}\right.$
使得y≥3^x恒成立的實(shí)數(shù)a的最小值為2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，函數(shù)的最值以及恒成立條件的轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力．