Question

9．已知函數$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$．
（1）用五點法畫出函數f（x）在一個周期上的簡圖，并求出y=f（x）圖象的對稱軸方程與對稱中心坐標；
（2）指出函數y=f（x）的圖象可以由y=sinx的圖象經過哪些變換得到；
（3）當x∈[0，m]時，函數y=f（x）的值域為$[{-\sqrt{3}，2}]$，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用列表法，結合五點作圖法進行取值作圖．
（2）根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，得出結論．
（3）由條件可得2m-$\frac{π}{3}$≥$\frac{π}{2}$，即 m≥$\frac{5π}{12}$．又函數y=f（x）在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上是單調減函數，令2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，解得 x=$\frac{5π}{6}$，由此可得m的取值范圍．

解答 解：（1）列表：

2x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
y	0	2	0	-2	0

描點，連線可得對應的圖象為：

由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故對稱中心坐標為：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
（2）把y=sinx圖象向右平移$\frac{π}{3}$，得到函數y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
再把函數y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，得到函數y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
最后再把函數y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．  …（6分）
（3）∵當x∈[0，m]時，函數y=f（x）的值域為[-$\sqrt{3}$，2]，
又當x∈[0，m]時，有-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2m-$\frac{π}{3}$，且y取到最大值2，f（0）=-$\sqrt{3}$，
所以2m-$\frac{π}{3}$≥$\frac{π}{2}$，故 m≥$\frac{5π}{12}$． …（8分）
又函數y=f（x）在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上是單調減函數，令2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，可得 x=$\frac{5π}{6}$．
所以m的取值范圍是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{6}$]．…（10分）

點評 本題主要考查了三角函數的圖象和性質，考查了復合三角函數的單調性和最值，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，要求熟練掌握相應的三角函數的性質以及五點法作圖，屬于基本知識的考查．