Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，求出切線的斜率，切點坐標，由f′（1）=-1求出a，由f（1）=2，求出b．
（2）寫出f（x）的表達式，求出導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，列表，即可得到極值．

解答： 解：（1）由題意，f′（x）=x²-2ax+a²-1．                     
又∵函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，
∴切線的斜率為-1，即 f′（1）=-1，∴a²-2a+1=0，
解得a=1．                                                  
又點（1，f（1））在直線x+y-3=0上，∴f（1）=2，
同時點（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+（a²-1）+b，
即2=

1

3

-1+（1-1）+b解得b=

8

3

．                                                       
（2）f（x）=

1

3

x³-x²+

8

3

，∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，所以有x、f′（x）、f（x）的變化情況表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增?	極大值	?遞減	極小值	?遞增

由上表可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）；                                                            
∴函數(shù)f（x）的極大值是f（0）=

8

3

，極小值是f（2）=

4

3

．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求極值，考查運算能力，屬于較基礎(chǔ)題．