Question

（本小題滿分14分）

（1）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：若；

（3）證明：若．

 

Answer 1

（1）單增區(qū)間為單減區(qū)間為.（2）見解析；（3）證法：見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用確定得到應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）由（1）知，得到轉(zhuǎn)化成由進(jìn)一步求和；

（3）思路1：令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明

思路2：應(yīng)用柯西不等式

令則

又由均值不等式知，即得證.

試題解析：（1） 2分

故單增區(qū)間為單減區(qū)間為。 5分

（2）由（1）知，

9分

（3）證法1：先證令

時(shí)，時(shí)

14分

證法2：由柯西不等式得 10分

令則

又由均值不等式知 ．．12分

由不等式的性質(zhì)知即證. 14分

考點(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.柯西不等式、基本不等式，3.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式4.轉(zhuǎn)化與化歸思想.