Question

已知函數f（x）=

2

x

+alnx-2（a＞0）．
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當a=1時，函數g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

（I）由題意得，f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f^′（x）=-

2

x2

+

a

x

，∴f^′（1）=-2+a，
∵直線y=x+2的斜率為1，∴-2+a=-1，解得a=1，
所以f（x）=

2

x

+lnx-2，∴f^′（x）=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的單調增區(qū)間是（2，+∞），單調減區(qū)間是（0，2）
（II）依題得g（x）=

2

x

+lnx+x-2-b，則g′(x)=-

2

x2

+

1

x

+1=

x2+x-2

x2

．
由g^′（x）＞0解得x＞1；由g^′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函數g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數，在區(qū)間（1，+∞）為增函數．
又∵函數g（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上有兩個零點，∴

g( 1 e )≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
解得1＜b≤

2

e

+e-1，∴b的取值范圍是（1，

2

e

+e-1]．