Question

【題目】已知函數.

(1)討論極值點的個數；

(2)若是的一個極值點，且，證明: .

Answer 1

【答案】(1) 當時，無極值點；當時，有個極值點；當或時，有個極值點；(2)證明見解析

【解析】

（1）求導得到；分別在、、和四種情況下根據的符號確定的單調性，根據極值點定義得到每種情況下極值點的個數；（2）由（1）的結論和可求得，從而得到，代入函數解析式可得；令可將化為關于的函數，利用導數可求得的單調性，從而得到，進而得到結論.

（1）

①當時，

當時，；當時，

在上單調遞減；在上單調遞增

為的唯一極小值點，無極大值點，即此時極值點個數為：個

②當時，令，解得：，

⑴當時，

和時，；時，

在，上單調遞增；在上單調遞減

為的極大值點，為的極小值點，即極值點個數為：個

⑵當時，，此時恒成立且不恒為

在上單調遞增，無極值點，即極值點個數為：個

⑶當時，

和時，；時，

在，上單調遞增；在上單調遞減

為的極大值點，為的極小值點，即極值點個數為：個

綜上所述：當時，無極值點；當時，有個極值點；當或時，有個極值點

（2）由（1）知，若是的一個極值點，則

又，即

令，則 ，

則

當時，，

當時，；當時，

在上單調遞增；在上單調遞減

，即