Question

6．已知函數(shù)f（x）=mx-cosx，g（x）=（ax-1）cosx-sinx（a＞0）．
（1）若函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最小值；
（2）若m=1，且對(duì)于任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有不等式f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可得f′（x）=m+sinx≥0恒成立，利用正弦函數(shù)的值域即可解得實(shí)數(shù)m的最小值；
（2）通過對(duì)不等式的變形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值恒非負(fù)問題，求出相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)后，通過兩次分類討論，找出適合條件的參量范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=mx-cosx，∴f′（x）=m+sinx，
∵y=f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）=m+sinx≥0恒成立，
∴m≥-sinx恒成立，∴m≥1，
∴實(shí)數(shù)m的最小值為1；
（2）∵m=1，
∴f（x）=x-cosx．
∵f（x）≥g（x），
∴x+sinx-axcosx≥0．
對(duì)于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，令H（x）=x+sinx-axcosx，
則H'（x）=1+cosx-a（cosx-xsinx）
=1+（1-a）cosx+axsinx．
（1）°當(dāng)1-a≥0，即0＜a≤1時(shí)，H'（x）=1+（1-a）cosx+axsinx＞0，
∴H（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增．
∴H（x）≥H（0）=0，符合題意，
∴0＜a≤1．
（2）°當(dāng)1-a＜0，即a＞1時(shí)，h（x）=1+（1-a）cosx+axsinx，
h'（x）=（2a-1）sinx+axcosx，
∵a＞1，
∴2a-1＞0，
∴h'（x）≥0．
∴h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，
∴h（0）≤h（x）≤h（$\frac{π}{2}$），
即2-a≤h（x）≤$\frac{π}{2}$a+1．
∴2-a≤H′（x）≤$\frac{π}{2}$a+1．
①當(dāng)2-a≥0，即1＜a≤2時(shí)，H'（x）≥0，
∴H（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為單調(diào)增函數(shù)，
于是H（x）≥H（0）=0，符合題意．
∴1＜a≤2．
②當(dāng)2-a＜0，即a＞2時(shí)，
存在x0∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，有H'（x）＜0，
此時(shí)H（x）在（0，x₀）上為單調(diào)減函數(shù)，
從而H（x）＜H（0）=0，不能使H（x）＞0恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0＜a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)的知識(shí)，主要是運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)去判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性去研究問題．本題的方法明確，需要進(jìn)行兩次分類討論，運(yùn)算量較大，有難度，屬于難題．