Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}中，前三項(xiàng)分別是x，2x，4x-2，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求x的值，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及其前n項(xiàng)和S_n．
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，且T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得2×2x=x+4x-2，由此能求出x，從而等差數(shù)列{a_n}中，前三項(xiàng)分別是2，4，6，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及其前n項(xiàng)和S_n．
（2）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），利用裂項(xiàng)法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，前三項(xiàng)分別是x，2x，4x-2，
∴2×2x=x+4x-2，解得x=2，
∴等差數(shù)列{a_n}中，前三項(xiàng)分別是2，4，6，
∵a₁=2，d=4-2=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
（2）∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．