Question

13．設x，y，z∈R，若2x-3y+z=3，則x²+（y-1）²+z²之最小值為$\frac{18}{7}$，又此時y=-$\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 由條件可得z=3-2x+3y，x²+（y-1）²+z²=x²+（y-1）²+（3-2x+3y）²，配方由非負數(shù)概念，可得最小值和y的值．

解答 解：z=3-2x+3y，
x²+（y-1）²+z²=x²+（y-1）²+（3-2x+3y）²=5x²-12x（y+1）+9（y+1）²+（y-1）²
=5[x-1.2（y+1）]²+1.8（y+1）²+（y-1）²
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8y²+1.6y+2.8
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8[y²+$\frac{1.6}{2.8}$y+（$\frac{0.8}{2.8}$）²]+2.8-$\frac{0．{8}^{2}}{2.8}$
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8（y+$\frac{2}{7}$）²+$\frac{18}{7}$≥$\frac{18}{7}$．
當且僅當x=$\frac{6}{7}$，y=-$\frac{2}{7}$時，取得最小值，且為$\frac{18}{7}$．
故答案為：$\frac{18}{7}$，-$\frac{2}{7}$．

點評 本題考查最小值的求法，注意運用配方法和非負數(shù)的思想，考查運算能力，屬于中檔題．