Question

8．橢圓過點（2，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{7}$，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓的焦點，橢圓在第一象限的部分上有一點P滿足∠F₁PF₂=60°，求三角形F₁PF₂的面積和點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法建立方程關(guān)系即可，求橢圓的標準方程；
（2）根據(jù)三角形的余弦定理以及三角形的面積公式進行求解．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
代入$（2，\sqrt{3}），（\sqrt{7}，\frac{3}{2}）$得，$\left\{{\begin{array}{l}{4m+3n=1}\\{7m+\frac{9n}{4}=1}\end{array}}\right.$，解得$m=\frac{1}{16}，n=\frac{1}{4}$，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$…（4分）
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由（1）知道m(xù)+n=2a=8…..①
在△F₁PF₂中，由余弦定理得m²+n²-2mncos60°=（2c）²=48…..②
由①②聯(lián)立得，$mn=\frac{16}{3}$，所以${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{1}{2}mnsin{60^0}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$…．（8分）
設(shè)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則有${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{1}{2}（2c）{y_0}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，{y_0}=\frac{2}{3}$，
代入橢圓方程得${x_0}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$，所以點P的坐標為$（{\frac{{8\sqrt{2}}}{3}，\frac{2}{3}}）$…..（12分）

點評 本題主要考查橢圓的方程以及三角形面積的應(yīng)用，考查學生的運算能力．