Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E為AB的中點(diǎn)，求證：△ECD為等邊三角形．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連結(jié)AC，過點(diǎn)E作EF平行于AD交DC于點(diǎn)F． 　　因?yàn)锳D∥BC， 　　所以AD∥EF∥BC． 　　又因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)， 　　所以F是DC的中點(diǎn)(經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底邊平行的直線平分另一腰)． 　　因?yàn)镈C⊥BC， 　　所以EF⊥DC． 　　所以ED＝EC(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等)． 　　所以△EDC為等腰三角形． 　　因?yàn)锳B＝BC，∠B＝60°， 　　所以△ABC是等邊三角形． 　　所以∠ACB＝60°． 　　又因?yàn)镋是AB邊的中點(diǎn)， 　　所以CE平分∠ACB． 　　所以∠FEC＝∠ECB＝30°． 　　所以∠DEF＝30°． 　　所以∠DEC＝60°． 　　又因?yàn)镋D＝EC， 　　所以△DEC為等邊三角形． 　　分析：一般在梯形中給出了一腰的中點(diǎn)，常添加的輔助線有：①過這一點(diǎn)作底邊的平行線，由平行線等分線段定理推論得另一腰的中點(diǎn)；②可延長DE(或CE)與底邊相交，構(gòu)造全等三角形．