Question

8．過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線y²=4x于A，B兩點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為F，則△ABF面積的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 方法一：分類討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△ABF面積，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得△ABF面積的取值范圍，綜上即可求得△ABF面積的最小值；
方法二：設(shè)直線AB：x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得三角形的面積的最小值．

解答 解：方法一：拋物線y²=4x焦點(diǎn)F（1，0），
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)將x=2代入拋物線C：y²=4x中，得y²=8，解得y=±2$\sqrt{2}$，
則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{2}$），（2，-2$\sqrt{2}$），
∴△ABF面積S=$\frac{1}{2}$×1×丨AB丨=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線的存在，且不為0，設(shè)直線AB：y=k（x-2）．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y，得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，且△=32k²+16＞0，
則由韋達(dá)定理，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-8，
∴△ABF面積S=$\frac{1}{2}$×丨PF丨×丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+32}$＞2$\sqrt{2}$，
綜上可知：則△ABF面積的最小值2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．
方法二：拋物線y²=4x焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)直線AB：x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-8=0，則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴△ABF面積S=$\frac{1}{2}$×丨PF丨×丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{16{m}^{2}+32}$≥$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)m=0時(shí)，取最小值，最小值為2$\sqrt{2}$，
∴△ABF面積的最小值2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線方程的表示，方法二比方法一更簡(jiǎn)單，且避免分類討論，選擇合適的方程，會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算，屬于中檔題．