Question

已知函數(shù).

　�。á瘢┰O(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為S_n，其中a₁=3.若點(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點（n,S_n）也在y=f′(x)的圖象上；

　�。á颍┣蠛瘮�(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值.

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.

    (Ⅰ)證明：因為所以,

由點在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,

得=，即，

又所以，又因為a₁=3，

所以數(shù)列{a_n}是以3為首項，公差為2的等差數(shù)列。

    所以,又因為f′(x)=n²+2n,所以,

    故點也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上.

(Ⅱ)解:,

由得.當x變化時,﹑的變化情況如下表:

 

x	(-∞,-2)	-2	(-2,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

注意到,從而

①當,此時無極小值；

②當的極小值為,此時無極大值；

③當既無極大值又無極小值.