Question

13．已知a₁=1，a_n=$\frac{n+1}{n}$•a_n+1，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過a_n=$\frac{n+1}{n}$•a_n+1可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘法計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，a_n＞0，
∵a_n=$\frac{n+1}{n}$•a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，
∴a_n=$\frac{1}{n}$，
又∵a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．