Question

（2012•湖南模擬）已知函數(shù)f（x）=（-ax²-2x+a）•e^x，（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=-2代入f（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，即f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，對a進行分類討論即可解出a的取值范圍．

解答：解：（1）a=-2時，f（x）=（2x²-2x-2）•e^x，定義域為R．
f′（x）=）=（2x²-2x-2）•e^x+（4x-2）•e^x=2（x-1）（x+2）•e^x．
由f′（x）＞0得x＜-2或x＞1，由f′（x）＜0，得-2＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，-1）．
（2）f′（x）=（-ax²-2x+a）•e^x+（-2ax-2）•e^x=-[ax²+2（a+1）x+2-a]•e^x．
令g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2．
①當(dāng)a=0時，g（x）=-2x-2，在（-1，1）內(nèi)g（x）＜0，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a＞0時，g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2是二次函數(shù)，其對稱軸為x=-1-

1

a

＜-1，
當(dāng)且僅當(dāng)g（-1）≤0，即a≤0時，f′（x）≤0，此時無解．
③當(dāng)a＜0時，g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2是二次函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)

g(-1)≤0 g(1)≤0

即

a≤0 -2a-4≤0

．∴-2≤a＜0時，f′（x）≤0，
此時函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[-2，0]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對可導(dǎo)函數(shù)f（x）來說，f′（x）≤0（不總為0）是f（x）在某區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件．