Question

如圖，在三棱柱中，已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=

π

3

，E為CC₁上的一點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）在線段CC₁是否存在一點(diǎn)，使得二面角A-B₁E-B大小為

π

4

．若存在請(qǐng)求出E點(diǎn)所在位置，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：解：（Ⅰ）易得AB⊥BC₁，在△BCC₁中，由余弦定理可得BC1=

3

，結(jié)合勾股定理所可得BC⊥BC₁，由線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，BC，BC₁，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可表示出平面AB₁E和平面BEB₁的法向量，由法向量的夾角和二面角的關(guān)系可得E的位置．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)锳B⊥側(cè)面BB₁C₁C，BC₁?側(cè)面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁，
在△BCC₁中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12-2BC•CC1•cos∠BCC1
=12+22-2×1×2×cos

π

3

=3，計(jì)算可得BC1=

3

，…4  分
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC₁，
又∵BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC₁兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BC，BC₁，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示．
則B(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(-1，

3

，0)，C（1，0，0），C1(0，

3

，0)．…（7分）
所以

CC1

=(-1，

3

，0)，設(shè)

CE

=λ

CC1

（0≤λ≤1），所以

CE

=(-λ，

3

λ，0)，可得E(1-λ，

3

λ，0)
故

AE

=（1-λ，

3

λ，-1），

AB1

=（-1，

3

，-1）．設(shè)平面AB₁E的法向量為

n

=（x，y，z），…（8分）
則由

n ⊥ AE n ⊥ AB1

，得

n • AE =0 n • AB1 =0

，即

(1-λ)x+ 3 λy-z=0 -x+ 3 y-z=0

，…（10分）
令y=

3

，則x=

3-3λ

2-λ

，z=

3

2-λ

，∴

n

=（

3-3λ

2-λ

，

3

，

3

2-λ

）是平面AB₁E的一個(gè)法向量．…（12分）
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴

BA

=（0，0，1）是平面BEB₁的一個(gè)法向量，
∴|cos＜

n

，

BA

＞|=|

n • BA

| n || BA |

|=|

3 2-λ

1× ( 3-3λ 2-λ )2+( 3 )2+( 3 2-λ )2

|=

2

2

兩邊平方解得λ=

1

2

，或λ=2（舍去）所以當(dāng)E在CC₁的中點(diǎn)時(shí)二面角A-B₁E-B大小為

π

4

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，以及二面角的平面角及求法，屬中檔題．