Question

已知O為平面直角坐標系的原點，過點M（-2，0）的直線l與圓x²+y²=1交于P，Q兩點．
（I）若，求直線l的方程；
（Ⅱ）若△OMP與△OPQ的面積相等，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出，∠POQ=120°，得到O到直線l的距離等于，根據(jù)點到直線的距離公式求出
直線l的斜率，從而得到直線l的方程．
（Ⅱ）因為△OMP與△OPQ的面積相等，可得，再由P，Q兩點在圓上，可解得點P的坐標，由兩點式求得
直線l的斜率．
解答：解：（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，因為直線l過點M（-2，0），可設(shè)直線l：y=k（x+2）．
因為P、Q兩點在圓x²+y²=1上，所以，，
因為，所以，
所以，∠POQ=120°，所以，O到直線l的距離等于． 所以，，得，
所以直線l的方程為 ，或 ．
（Ⅱ）因為△OMP與△OPQ的面積相等，所以，，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），所以，，．
所以，，即（*）；     因為，P，Q兩點在圓上，
所以，把（*）代入，得，所以，，
所以，直線l的斜率，即 ．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，直線和圓相交的性質(zhì)，求出點P的坐標是解題的難點．