Question

（本小題滿分12分）在中，．

（Ⅰ）求重心G的軌跡方程

（Ⅱ）設(shè)P為（1）中所求軌跡上任意一點(diǎn)，求的最小值．

 

Answer 1

（Ⅰ）； （Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)锳B、AC邊上的中線長(zhǎng)為定值9，由重心的性質(zhì),知，即動(dòng)點(diǎn)G到兩定點(diǎn)B、C的距離之和為定值6，且，所以點(diǎn)軌跡符合橢圓軌跡定義，根據(jù)橢圓定義相關(guān)性質(zhì)易求得點(diǎn)軌跡方程；（Ⅱ）據(jù)已知，點(diǎn)在橢圓上，由橢圓定義可得（定值），，由余弦定理可得的表達(dá)式，結(jié)合相關(guān)等價(jià)變形和基本不等式可得所求．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)分別為（如下圖所示），則據(jù)題意

,即動(dòng)點(diǎn)G到兩定點(diǎn)B、C的距離之和為定值6，,

點(diǎn)軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，

據(jù)題意可設(shè)橢圓方程為，則

，,即，根據(jù)橢圓的相關(guān)性質(zhì)得，

所以點(diǎn)的軌跡方程為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)在橢圓上（如上圖所示），由橢圓定義可得（定值） ， ，由余弦定理可得:

，顯然當(dāng)取得最大值時(shí)最小，

根據(jù)基本不等式得，即的最大值為9，

所以的最小值為．

考點(diǎn)：①橢圓的定義和性質(zhì)；②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；③基本不等式；④最值求解的基本思想．