Question

（2013•南充三模）定義在R上的函數(shù)y=f（x）其周期為4，且滿足：①f（x）是偶函數(shù)；②（1，0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)；且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₃x，則方程f（x）+4=0在區(qū)間（-2，10）內(nèi)的所有實(shí)根個(gè)數(shù)為（　　）

A．4

B．5

C．6

D．8

Answer 1

分析：利用函數(shù)的周期性、奇偶性和對(duì)稱性，結(jié)合圖象可得方程的根．

解答：解：根據(jù)題意，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₃x=-4，可得x=3^-4=

1

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，
因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=log₃（-x）=-4，
可得-x=3-4，x=-

1

81

，
∵f（x-1）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，
∴當(dāng)-2＜x≤-1時(shí)的函值域與當(dāng)-1≤x＜0時(shí)函數(shù)值域互為相反數(shù)，f（x）≥0，方程f（x）=-4沒(méi)有實(shí)根
再根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)y軸對(duì)稱得，當(dāng)-2＜x≤-1時(shí)的函值域與當(dāng)1≤x＜2時(shí)函數(shù)值域相同，
f（x）≥0，方程f（x）=-4沒(méi)有實(shí)根，
因此函數(shù)在（-2，2）只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x=±

1

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，
因?yàn)楹瘮?shù)的周期為4，因此可得在（2，6）只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x=±

1

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+4，
在（6，10）只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x=±

1

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+8，
因此可得函數(shù)方程f（x）+4=0在區(qū)間（-2，10）內(nèi)的所有實(shí)根個(gè)數(shù)為6個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性、奇偶性以及對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)．