Question

5．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)$M（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$和$N（\sqrt{2}，1）$．A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，P、Q為橢圓E上異于A、B的兩點(diǎn)，且直線BQ的斜率等于直線AP斜率的2倍．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程，代入橢圓方程，即可求得m和n的值，求得橢圓的方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率公式求得k_BP•k_BQ=-1，設(shè)直線PQ的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得b=-$\frac{2}{3}$k，即可求得直線恒過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{3}{2}n=1}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）證明：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），y²=$\frac{1}{2}$（4-x²），則A（-2，0），B（2，0），則
k_AP=$\frac{y-0}{x+2}$，k_BP=$\frac{y-0}{x-2}$，
則k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$=-$\frac{1}{2}$，
由k_BQ=2k_AP，故k_BP•k_BQ=-1．
∴直線BP與直線BQ的斜率乘積為-1為定值，
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)l_PQ：y=kx+b與x軸的交點(diǎn)為M，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
由k_BP•k_BQ=-1，即$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，則y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
得（k²+1）x₁x₂+（kb-2）（x₁+x₂）+4+b²=0，
4k²+8kb+3b²=0，得b=-2k或b=-$\frac{2}{3}$k．y=k（x-2）或y=k（x-$\frac{2}{3}$），
所以過(guò)定點(diǎn)（2，0）或（$\frac{2}{3}$，0），
A（2，0）為橢圓的右頂點(diǎn)，舍去，
∴直線PQ過(guò)定點(diǎn)（$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．