Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}滿足b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解（1）n=1，a₁=2，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=2n
∴a_n=2n （n∈N^*） …（4分）
b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-2b_n-1=a_n-1，n≥2．
兩式作差：3^n-1b_n=a_n-a_n-1=2
∴ n≥2，
又∵b₁=2
∴ n∈N^*． …（10分）
（2）數(shù)列{b_n}是首項為2，公比為的等比數(shù)列，
所以T_n==3- …（13分）
分析：（1）通過數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n，求出首項，a_n=S_n-S_n-1，求數(shù)列{a_n}的通項公式，通過錯位相減法求解{b_n}的通項公式；
（2）通過數(shù)列{b_n}的通項公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，直接求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，數(shù)列通項公式的求法，求和的方法，考查分析問題解決問題能力．