Question

設(shè)f（x）=2x³+ax²+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f'（x），若函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣對稱，且f'（1）=0
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，
故f '（x）=6x²+2ax+b
從而f '（x）=6
y=f '（x）關(guān)于直線x=﹣對稱，
從而由條件可知﹣=﹣，
解得a=3
又由于f '（x）=0，
即6+2a+b=0，
解得b=﹣12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²﹣12x+1
f '（x）=6x²+6x﹣12
=6（x﹣1）（x+2）
令f '（x）=0，得x=1或x=﹣2
當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時，f '（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（﹣2，1）時，f '（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f '（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
從而f（x）在x=﹣2處取到極大值f（﹣2）=21，在x=1處取到極小值f（1）=﹣6．