Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2-2a2x+

1

3

(a≠0)
（1）若a=-2，求f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的方法是：先求出函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；再將函數(shù)y=f（x）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f（a），f（b）比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．據(jù)此可求出函數(shù)y=f（x）的最值．
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，則在[-1，1]上必有f^′（x）≤0，據(jù)此可求出a的取值范圍．

解答：解：f^′（x）=）=x²-ax-2a²．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f(x)=

1

3

x3+x2-8x+

1

3

．
∴f^′（x）=x²+2x-8，令f^′（x）=0，得x=2或x=-4（舍去）．
∴在區(qū)間[0，2）上，f^′（x）＜0；在區(qū)間（2，3]上，f^′（x）＞0．
∴f（x）在區(qū)間[0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，3]上單點(diǎn)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值f（2）=-9，也即最小值是-9．
又f（0）=

1

3

，f（3）=-

17

3

，∴f（3）為最大值．
∴f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值是

1

3

，最小值是-9．
（2）要使f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，只須在區(qū)間[-1，1]上，f^′（x）≤0．
又f^′（x）=（x-2a）（x+a），令f^′（x）=0，則x=2a或x=-a．
①當(dāng)a＞0時(shí)，有2a＞-a，要使f^′（x）≤0，則只須

-a≤-1 2a≥1

，所以a≥1．
②當(dāng)a＜0時(shí)，有2a＜-a，要使f^′（x）≤0，則只須{

2a≤-1 -a≥1

，所以a≤-1．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)最值，通過(guò)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求出其極值，然后再與端點(diǎn)處的函數(shù)值相比較，則最大者是最大值，最小者是最小值．同時(shí)要注意分類討論的思想方法．