Question

15．在曲線y=x²（x≥0）上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為$\frac{2}{3}$，則切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （1，1）
• B． （2，4）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 設(shè)A（m，m²），求出y=x²（x≥0）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求得切線的方程，運(yùn)用定積分和三角形的面積公式可得，${∫}_{0}^{m}$x²dx-$\frac{1}{2}$m²•（m-$\frac{m}{2}$）=$\frac{2}{3}$，計(jì)算即可得到切點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)A（m，m²），y=x²（x≥0）的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
可得切線的斜率為2m，
切線的方程為y-m²=2m（x-m），
令y=0，可得x=$\frac{m}{2}$，
由題意可得${∫}_{0}^{m}$x²dx-$\frac{1}{2}$m²•（m-$\frac{m}{2}$）=$\frac{2}{3}$，
即有$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{m}$-$\frac{1}{4}$m³=$\frac{2}{3}$，
即為$\frac{1}{3}$m³-$\frac{1}{4}$m³=$\frac{2}{3}$，解得m=2，
即有A（2，4）．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查面積的求法，運(yùn)用定積分和三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．