Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意正實數(shù)x，不等式f（x）≥kg（x）恒成立，求實數(shù)k的值；
（Ⅲ）求證：2nlnn!≥（n-1）²（n∈N^*）．（其中n!=1×2×3×…×（n-1）×n）

Answer 1

解：（I）由題意可知：定義域：（0，+∞），f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，得x=，（1分）
則當x∈（0，）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；（2分）
當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增（4分）
（II）令h（x）=xlnx-kx+k，則h′（x）=1+lnx-k，
∴h（x）在（0，e^k-1）上是減函數(shù)，在（e^k-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）≥h（e^k-1）=k-e^k-1，
由題意k-e^k-1≥0，
令t（k）=k-e^k-1，則t′（k）=1-e^k-1，
∴t（k）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴t（k）≤t（1）=0，
∴k-e^k-1≤0，
∴k-e^k-1=0，∴k=1．
（III）由（II）得，?x＞1，xlnx＞x-1恒成立，∴l(xiāng)nx＞=1-，
令x=k²（k∈N*，k≥2），，
取k=2，3，…，n-1，n．并累加得：，
∴2nlnn!＞（n-1）²
又當n=1時，2nlnn!=（n-1）²
∴2nlnn!≥（n-1）²（n∈N^*）．
分析：（I）利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，然后求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）令h（x）=xlnx-kx+k，利用導數(shù)研究其單調(diào)性得h（x）≥h（e^k-1）=k-e^k-1，從而有k-e^k-1≥0，再令t（k）=k-e^k-1，利用導數(shù)研究其單調(diào)性得k-e^k-1≤0，利用兩邊夾原理即可得出k-e^k-1=0，從而求出k的值；
（III）利用?x＞1，xlnx＞x-1恒成立，結合取k=2，3，…，n-1，n．并累加得即可證明2nlnn!≥（n-1）²．
點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導數(shù)的應用，不等式的綜合應用，考查計算能力，轉化思想的應用．