Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角為45°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDF；
（Ⅱ）求證：AC∥平面BEF；
（Ⅲ）求幾何體EFABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，得DE⊥AC．結(jié)合正方形對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE．
（II）延長(zhǎng)DA，EF相交于點(diǎn)M，連接BM，根據(jù)三角形中的比例線(xiàn)段結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可證出四邊形AMBC為平行四邊形，從而AC∥MB，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定可得AC∥平面BEF．
（III）由（II）可知：幾何體EFABCD的體積等于V_{四棱錐E-MBCD}-V_{四棱錐F-MAB}．分別求出直角梯形CDMB的面積和三角形ABM的面積，結(jié)合錐體體積公式，求出V_{四棱錐E-MBCD}和V_{三棱錐F-MAB}，再相減即可得到幾何體EFABCD的體積．

解答：解：（I）∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵BD、DE是平面BDE內(nèi)的相交直線(xiàn)，
∴AC⊥平面BDE．
（II）延長(zhǎng)DA，EF相交于點(diǎn)M，連接BM，
∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE，
∵△MDE中，DE=2AF，∴AM=AD=2，
∵AD∥BC且AD=BC，
∴AM∥BC且AM=BC，可得四邊形AMBC為平行四邊形，
∴AC∥MB，
又∵M(jìn)B?平面BEF，AC?平面BEF，
∴AC∥平面BEF．
（III）由（II）可知：幾何體EFABCD的體積等于V_{四棱錐E-MBCD}-V_{三棱錐F-MAB}．
∵DM=DA+AM=4，BC=2，CD=2，四邊形MBCD為直角梯形，
∴S_MBCD=

1

2

（4+2）2=6，S△ABM=

1

2

×2×2=2
又∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，DE=2AF，AF=

2

，DE=2

2

，
∴幾何體EFABCD的體積為V=

1

3

×6×2

2

-

1

3

×2×

2

=

10 2

3

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的四棱錐中求證線(xiàn)面垂直和線(xiàn)面平行，并且求幾何體的體積，著重考查了線(xiàn)面平行、垂直的判定和組合幾何體體積的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．