Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)

（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是，若存在，則求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

（2）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100500072855963074/SYS201310050008292111661594_ST.files/image005.png">時(shí)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100500072855963074/SYS201310050008292111661594_ST.files/image006.png"> （），求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) 不存在適合條件的實(shí)數(shù) (2)

【解析】

試題分析：解：(1)若存在滿足條件的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是，則由題意知 

① 當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù).故即   解得，故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù) 

②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù). 故即，此時(shí)是方程的根，此方程無實(shí)根.故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)

③當(dāng)時(shí)， 由于，而，故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)，綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù).

（2）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100500072855963074/SYS201310050008292111661594_DA.files/image004.png">時(shí)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100500072855963074/SYS201310050008292111661594_DA.files/image025.png">

則  

①當(dāng)時(shí)，由于在上是減函數(shù)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100500072855963074/SYS201310050008292111661594_DA.files/image025.png">，

即此時(shí)異號(hào)，不合題意.所以不存在.

②當(dāng)或時(shí)，由（1）知0在值域內(nèi)，值域不可能是，所以不存在，故只有

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100500072855963074/SYS201310050008292111661594_DA.files/image032.png">在上是增函數(shù)， 即

是方程的兩個(gè)根，即關(guān)于的方程有兩個(gè)大于的實(shí)根.設(shè)這兩個(gè)根為   則

所以    即   解得

故的取值范圍是

考點(diǎn)：本試題考查了函數(shù)的概念運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的定義域和值域的問題，主要是分析函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于含有絕對(duì)值的 函數(shù)實(shí)際就是分段函數(shù)，要分別考慮求解其值域，同時(shí)要注意分段函數(shù)的值域等于各段函數(shù)值域的并集，定義域也是各段定義域的并集，屬于難度試題。