Question

已知圓x²+y²+x-6y+m=0和直線(xiàn)x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.

Answer 1

圓心坐標(biāo)為,半徑r=

解析:

方法一  將x=3-2y,

代入方程x²+y²+x-6y+m=0,

得5y²-20y+12+m=0.

設(shè)P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則y₁、y₂滿(mǎn)足條件：

y₁+y₂=4,y₁y₂=

∵OP⊥OQ,∴x₁x₂+y₁y₂=0.

而x₁=3-2y₁,x₂=3-2y₂.

∴x₁x₂=9-6(y₁+y₂)+4y₁y₂.

∴m=3,此時(shí)Δ＞0,圓心坐標(biāo)為,半徑r=.

方法二 如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，

∵O₁M⊥PQ，∴.

∴O₁M的方程為:y-3=2,

即：y=2x+4.

由方程組

解得M的坐標(biāo)為（-1，2）.

則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）²+（y-2）²=r².

∵OP⊥OQ，∴點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上.

∴（0+1）²+（0-2）²=r²，即r²=5,MQ²=r².

在Rt△O₁MQ中，O₁Q²=O₁M²+MQ².

∴(3-2)²+5=

∴m=3.∴半徑為,圓心為.

方法三 設(shè)過(guò)P、Q的圓系方程為

x²+y²+x-6y+m+(x+2y-3)=0.

由OP⊥OQ知，點(diǎn)O（0，0）在圓上.

∴m-3=0，即m=3.

∴圓的方程可化為

x²+y²+x-6y+3+x+2y-3=0

即x²+(1+)x+y²+2(-3)y=0.

∴圓心M，又圓在PQ上.

∴-+2（3-）-3=0，

∴=1，∴m=3.

∴圓心為，半徑為.