Question

【題目】已知函數(shù).

（1）函數(shù)在區(qū)間（）上有零點(diǎn)，求k的值；

（2）若不等式對任意正實(shí)數(shù)x恒成立，求正整數(shù)m的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）0或3；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)，可得時，函數(shù)單調(diào)遞減，時，函數(shù)單調(diào)遞增，然后利用零點(diǎn)存在定理，根據(jù)驗(yàn)證求解.

（2）根據(jù)（1）分三種情況討論，當(dāng)時，不等式為.顯然恒成立； 當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為，令，求其最大值，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為，令，求其最小值即可.

（1）令，得，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以的極小值為，又，

所以在區(qū)間上存在一個零點(diǎn)，此時；

因?yàn)?/span>，，

所以在區(qū)間上存在一個零點(diǎn)，此時.

綜上，k的值為0或3；

（2）當(dāng)時，不等式為.顯然恒成立，此時；

當(dāng)時，不等式，可化為，

令，則，

由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且存在一個零點(diǎn)，

此時，即，

當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減.

∴有極大值，即最大值為，

于是.

當(dāng)時，不等式，可化為，

由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且存在一個零點(diǎn)，同理可得.

綜上可知.

又，，∴正整數(shù)m的取值集合為.