Question

【題目】已知為等腰直角三角形，，將沿底邊上的高線折起到位置，使，如圖所示，分別取的中點.

（1）求二面角的余弦值；

（2）判斷在線段上是否存在一點，使平面？若存在，求出點的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點是線段的中點時，平面．

【解析】

試題（1）以所在直線為軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果；（2）假設(shè)在線段上存在一點，使平面，設(shè)，根據(jù)可求得.

試題解析：由題知，且，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則點．

（1），設(shè)平面的法向量為，則

，得，得，當時，得，同理可得平面的一個法向量為，那么，

所以二面角的余弦值為；

（2）假設(shè)在線段上存在一點，使平面，設(shè)，

則由，得，得，

那么，當平面時，，

即存在實數(shù)，使，解得，那么，

即點是線段的中點時，平面．

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求二面角的大小以及存在性問題，屬于中檔題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.