Question

10．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x+1，x∈[0，1]
（1）證明：f（x）≥0；
（2）若a＜$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜b在x∈（0，1）恒成立，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出f（x）≥f（0）=0；
（2）令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值、最小值，即可得出a≤1，b≥e-1，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=xe^x≥0，
 即f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增．
所以f（x）≥f（0）=0，
即結(jié)論成立．
（2）令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，則g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$≥0，x∈（0，1），
所以，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜g（1）=e-1，
要使a＜$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜b在x∈（0，1）恒成立，只需b≥e-1，
$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞a成立，只需e^x-ax-1＞0在x∈（0，1）恒成立．
令h（x）=e^x-ax-1，x∈（0，1），
則h′（x）=e^x-a，由x∈（0，1），即e^x∈（1，e），
當(dāng)a≤1時(shí)，h′（x）≥0 此時(shí)x∈（0，1），有h（x）＞h（0）=0成立．
所以a≤1滿足條件．
當(dāng)a≥e時(shí)，h′（x）≤0，此時(shí)x∈（0，1）有h（x）＜h（0）=0，
不符合題意，舍去．
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，令h′（x）=0，得x=lna，
可得當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，h′（x）≤0．即x∈（0，lna）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，
不符合題意舍去．
綜上，a≤1，
又b≥e-1，即有b-a≥e-2．
所以b-a的最小值為e-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．