Question

（2013•湖州二模）已知函數(shù)f（x）=2ax+

1

x

+（2-a）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)-3＜a＜-2時(shí)，若存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值：先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，然后即可得到函數(shù)的極值；
（2）先由參數(shù)范圍得到函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)在[1，3]上的最值，再由存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，及不等式恒成立的條件，就可得到參數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由題可知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=2a-

1

x2

+

2-a

x

=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

a(2x-1)(x+ 1 a )

x2

．--------（2分）
（Ⅰ） 當(dāng)a=-1時(shí)，f′(x)=

-(2x-1)(x-1)

x2

，
令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

2

或x＞1；
令f'（x）＞0，解得

1

2

＜x＜1，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(0 ， 

1

2

)和（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是(

1

2

 ， 1)；--（5分）
所以當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）的極小值為f(

1

2

)=1-3ln2；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）的極大值為f（1）=-1．--------------------（7分）
（Ⅱ）當(dāng)-3＜a＜-2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(0 ， -

1

a

)，(

1

2

 ， +∞)，
單調(diào)遞增區(qū)間是(-

1

a

 ， 

1

2

)，
所以f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，-----------------------------------（9分）
所以f（x）_max=f（1）=2a+1，f(x)min=f(3)=(2-a)ln3+

1

3

+6a．
所以|f(x1)-f(x2)|max=f(1)-f(3)=(1+2a)-[(2-a)ln3+

1

3

+6a]=

2

3

-4a+(a-2)ln3．------------------------------------------（11分）
因?yàn)榇嬖趚₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，
所以

2

3

-4a+(a-2)ln3＞(m+ln3)a-2ln3，----------------------（12分）
整理得ma＜

2

3

-4a．
又a＜0，所以m＞

2

3a

-4，又因?yàn)?3＜a＜-2，得-

1

3

＜

2

3a

＜-

2

9

，
所以-

13

3

＜

2

3a

-4＜-

38

9

，所以m≥-

38

9

．------------------------（15分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題，與不等式恒成立有關(guān)的參數(shù)范圍問題，需要考生熟悉這一類問題的解題通法．