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如圖，在四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，AD=2AB=2PA，E為PD的上一點，且PE=2ED，F(xiàn)為PC的中點．
（Ⅰ）求證：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．
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建立如圖所示空間直角坐標系A-xyz，
設B（1，0，0），則D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0）E(0，
4
3
，
1
3
)，F(
1
2
，1，
1
2
)（2分）
（Ⅰ）設平面AEC的一個法向量為
n
=(x，y，z)，
∵
AE
=(0，
4
3
，
1
3
)，
AC
=(1，2，0)，
∴由
n
•
AE
=0
n
•
AC
=0
，
得
4
3
y+
1
3
z=0
x+2y=0
，
令y=-1，得
n
=(2，-1，4)（4分）
又
BF
=(-
1
2
，1，
1
2
)，
∴
BF
•
n
=2×(-
1
2
)+(-1)×1+4×
1
2
=0，（5分）
BF
⊥
n
，BF?平面AEC，
∴BF∥平面AEC．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一個法向量為
n
=(2，-1，4)，
又
AP
=(0，0，1)為平面ACD的法向量，（8分）
而cos＜
n
，
AP
＞=
n
•
AP
|
n
||
AP
|
=
4
21
21
，（11分）
故二面角E-AC-D的余弦值為
4
21
21
（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，點A在PD上的射影為點G，點E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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