Question

已知函數(shù)是自然數(shù)）是奇函數(shù)，f（x）有最大值，且，試求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

解：由f（x）為奇函數(shù)得f（-x）+f（x）=0，即+=0，
∴c=0．
又a＞0，b是自然數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
故f（x）的最大值必在x＞0時(shí)取得；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）==≤，
當(dāng)且僅當(dāng)ax=，即x=時(shí)取得=，即a=b²，
又f（1）＞，
∴＞，
∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
∴＜b＜2 又a＞0，b是自然數(shù)可得a=b=1，
∴f（x）=．
分析：由f（x）為奇函數(shù)可知f（-x）+f（x）=0，求得c=0； 依題意可知f（x）的最大值必在x＞0時(shí)取得，利用基本不等式可求得f（x）≤=，于是a=b²，最后由f（1）＞，即可求得＜b＜2 又a＞0，b是自然數(shù)可得a=b=1．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用，由基本不等式結(jié)合題意得到a=b²是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．