Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切n∈N^*，點(diǎn)都在函數(shù)f(x)＝x＋的圖象上．

(1)求a₁、a₂、a₃的值，猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

(2)將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₅＋b₁₀₀的值．

Answer 1

 (1)∵點(diǎn)在函數(shù)f(x)＝x＋的圖象上，

∴＝n＋，∴S_n＝n²＋a_n.

令n＝1得，a₁＝1＋a₁，∴a₁＝2；

令n＝2得，a₁＋a₂＝4＋a₂，∴a₂＝4；

令n＝3得，a₁＋a₂＋a₃＝9＋a₃，∴a₃＝6.

由此猜想：a_n＝2n.

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n＝1時(shí)，由上面的求解知，猜想成立．

②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)猜想成立，即a_k＝2k成立，

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，注意到S_n＝n²＋a_n(n∈N^*)，

故S_k＋1＝(k＋1)²＋a_k＋1，S_k＝k²＋a_k.

兩式相減得，a_k＋1＝2k＋1＋a_k＋1－a_k，所以a_k＋1＝4k＋2－a_k.

由歸納假設(shè)得，a_k＝2k，

故a_k＋1＝4k＋2－a_k＝4k＋2－2k＝2(k＋1)．

這說(shuō)明n＝k＋1時(shí)，猜想也成立．

由①②知，對(duì)一切n∈N^*，a_n＝2n成立．

(2)因?yàn)?i>a_n＝2n(n∈N^*)，所以數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故b₁₀₀是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20.故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，

所以b₁₀₀＝68＋24×80＝1988，

又b₅＝22，所以b₅＋b₁₀₀＝2010.

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