Question

雙曲線- =1(a＞0,b＞0)的離心率為，A、F分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過點F的直線l交雙曲線的右支于P、Q兩點，交y軸于R點，AP、AQ分別交右準線于M、N兩點.

(1)若=5，求直線l的斜率；

(2)證明M、N兩點的縱坐標之積為-a².

Answer 1

(1)解：設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),因為雙曲線的離心率為，?

所以c=a,b=a，雙曲線方程為2x²-y²=2a².                                                     ?

因為=5，所以x₂=c.                                                                               ?

因為直線l:y=k(x-c),?

所以y₂=-.                                                                                                   ?

點Q是雙曲線上一點，所以2()²-(-)²=2a²,                                                    ?

整理,得e²-e²k²=2,解得k=±.                                                           ?

(2)證明：設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，?

由已知AP:y=(x+a),AQ:y=(x+a),?

所以y_m=(+a),y_n==(+a).                                                   ?

所以y_my_n=·(+a)²=(+a)².?

由得(2-k²)x²+2k²cx-k²c²-2a²=0,?

所以x₁+x₂=,x₁x₂=,?

y₁y₂=k²(x₁-c)(x₂-c)=k²［x₁x₂-c(x₁+x₂)+c²］=k²，                                       ?

x₁x₂+a(x₁+x₂)+a²=k².                                                                                  ?

所以y_my_n=·=-a².