Question

3．已知點(diǎn)$A（-\frac{1}{2}，0）$，拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且|AP|=$\sqrt{2}$|PF|，則|OP|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)P（$\frac{1}{2}$m²，m），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合條件|AP|=$\sqrt{2}$|PF|，計(jì)算可得m，再由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F（$\frac{1}{2}$，0），
設(shè)P（$\frac{1}{2}$m²，m），
由|AP|=$\sqrt{2}$|PF|，
可得|AP|²=2|PF|²，
即有（$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$）²+m²=2[（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$）²+m²]，
化簡(jiǎn)得m⁴-2m²+1=0，
解得m²=1，
即有|OP|=$\sqrt{\frac{1}{4}{m}^{4}+{m}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)考查兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．