Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側棱PA上的動點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）如果E是PA的中點，求證：PC∥平面BDE；
（3）是否不論點E在側棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用四棱錐的體積計算公式即可；
（2）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（3）利用線面垂直的判定和性質即可證明．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA為此四棱錐底面上的高．
∴V_{四棱錐P-ABCD}=

1

3

S正方形ABCD×PA=

1

3

×12×2=

2

3

．
（2）連接AC交BD于O，連接OE．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=OC，
又∵AE=EP，∴OE∥PC．
又∵PC?平面BDE，OE?平面BDE．
∴PC∥平面BDE．
（3）不論點E在側棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
∵CE?平面PAC．
∴BD⊥CE．

點評：熟練掌握線面平行、垂直的判定和性質定理及四棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．