Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=log₂[n-f（x）]，若此函數(shù)在定義域范圍內(nèi)不存在零點，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的最小值為-1，判斷a的符號，推出a=1，求解函數(shù)的解析式；
（2）解1：過函數(shù)h（x）=log₂[n-f（x）]在定義域內(nèi)不存在零點，必須且只須有n-f（x）＞0有解，且n-f（x）=1無解．推出n＞f_min（x），然后求解n的取值范圍．
（2）解2..$h（x）={log_2}（-{x^2}-2x+n）$，令t=-x²-2x+n=-（x+1）²+n+1，轉(zhuǎn)化為log₂（n+1）＜0，求出 n的取值范圍即可．

解答 解：（1）由題意設(shè)f（x）=ax（x+2），
∵f（x）的最小值為-1，
∴a＞0，且f（-1）=-1，∴a=1，
∴f（x）=x²+2x．
（2）解1，函數(shù)h（x）=log₂[n-f（x）]在定義域內(nèi)不存在零點，必須且只須有n-f（x）＞0有解，且n-f（x）=1無解．
∴n＞f_min（x），且n不屬于f（x）+1的值域，
又∵f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，
∴f（x）的最小值為-1，f（x）+1的值域為[0，+∞），
∴n＞-1，且n＜0
∴n的取值范圍為（-1，0）．
（2）解2.$h（x）={log_2}（-{x^2}-2x+n）$
令t=-x²-2x+n=-（x+1）²+n+1，
必有0＜t≤n+1，得h（x）≤log₂（n+1），
因為函數(shù)h（x）=log₂[n-f（x）]在定義域內(nèi)不存在零點，所以log₂（n+1）＜0，
得n+1＜1，即n＜0，又n＞-1（否則函數(shù)定義域為空集，不是函數(shù)）
所以；  n的取值范圍為（-1，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．