Question

12．（ax-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展開式中各項系數(shù)的和為16，則展開式中x³項的系數(shù)為（　　）

• A． 974
• B． $\frac{63}{2}$
• C． 57
• D． 33

Answer 1

分析 在（ax-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶中令x=1得展開式中各項系數(shù)的和，求出a的值；再把（x-$\frac{2}{x}$）⁶展開，從而求出（$\frac{193}{12}$x-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶展開式中x³項的系數(shù)．

解答 解：（ax-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶中，
令x=1得展開式中各項系數(shù)的和為（a-$\frac{1}{12}$）•（1-2）⁶=16，
解得a=$\frac{193}{12}$；
∴（$\frac{193}{12}$x-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶，
又（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展開式通項公式為
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=（-2）^r•${C}_{6}^{r}$•x^6-2r，
6-2r=2，解得r=2，
∴（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展開式中含x²的系數(shù)為（-2）²•${C}_{6}^{2}$=60；
令6-2r=4，解得r=1，
∴（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展開式中含x⁴的系數(shù)為-2•${C}_{6}^{1}$=-12；
令6-2r=3，解得r=$\frac{3}{2}$，不合題意，舍去；
∴（$\frac{193}{12}$x-$\frac{3}{4x}$+$\frac{2}{3}$）（x-$\frac{2}{x}$）⁶展開式中x³項的系數(shù)為
$\frac{193}{12}$•60-$\frac{3}{4}$•（-12）=974．
故選：A．

點評 本題考查了二項式展開式的通項公式應用問題，是綜合題．