Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且橢圓C與直線$\sqrt{2}$x-$\sqrt{5}$y-3$\sqrt{2}$=0相切，直線l：y=kx-3與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，將直線$\sqrt{2}$x-$\sqrt{5}$y-3$\sqrt{2}$=0代入橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）y=kx-3代入橢圓方程x²+2y²=10，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理，結(jié)合直徑所對(duì)的圓周角為直角，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到斜率k，進(jìn)而得到直線方程．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
可設(shè)a=2t，b=c=$\sqrt{2}$t，
則橢圓方程為x²+2y²=4t²，
直線$\sqrt{2}$x-$\sqrt{5}$y-3$\sqrt{2}$=0代入橢圓方程，可得
$\frac{9}{5}$x²-$\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$x+18-4t²=0，
由直線和橢圓相切，可得判別式為0，
即為$\frac{144×2}{5}$-4×$\frac{9}{5}$×（18-4t²）=0，
解得t=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
即有a=$\sqrt{10}$，b=$\sqrt{5}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）由y=kx-3代入橢圓方程x²+2y²=10，
可得（1+2k²）x²-12kx+8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
判別式為144k²-32（1+2k²）＞0，
解得k²＞$\frac{2}{5}$．
x₁+x₂=$\frac{12k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$，
以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F（$\sqrt{5}$，0）．
即有$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BF}$=0，即為$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
（x₁-$\sqrt{5}$）（x₂-$\sqrt{5}$）+y₁y₂=0，
即為x₁x₂+5-$\sqrt{5}$（x₁+x₂）+（kx₁-3）（kx₂-3）=0，
即有（1+k²）x₁x₂-（$\sqrt{5}$+3k）（x₁+x₂）+14=0，
即為（1+k²）•$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$-（$\sqrt{5}$+3k）•$\frac{12k}{1+2{k}^{2}}$+14=0，
解得k=$\frac{11\sqrt{5}}{30}$，k²＞$\frac{2}{5}$．成立．
即有直線l的方程為y=$\frac{11\sqrt{5}}{30}$x-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．