Question

20．已知M（4，0），N（1，0），曲線C上的任意一點P滿足：$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{PN}$|
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點N（1，0）的直線與曲線C交于A，B兩點，交y軸于H點，設$\overrightarrow{MN}$=λ₁$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{HB}$=λ₂$\overrightarrow{BN}$，試問λ₁+λ₂是否為定值？如果是定值，請求出這個定值；如果不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出向量的坐標，利用條件化簡，即可求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）分類討論，利用$\overrightarrow{MN}$=λ₁$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{HB}$=λ₂$\overrightarrow{BN}$，結(jié)合韋達定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設P（x，y），則$\overrightarrow{MN}$=（-3，0），$\overrightarrow{MP}$=（x-4，y），$\overrightarrow{PN}$=（1-x，-y）．
∵$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=6|$\overrightarrow{PN}$|，∴-3×（x-4）+0×y=6$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1為所求點P的軌跡方程.4分
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當直線l與x軸不重合時，設直線l的方程為x=my+1（m≠0），則H（0，-$\frac{1}{m}$）．
從而$\overrightarrow{HA}$=（x₁，y₁+$\frac{1}{m}$），$\overrightarrow{AN}$=（1-x₁，-y₁），由$\overrightarrow{HA}$=λ₁$\overrightarrow{AN}$得（x₁，y₁+$\frac{1}{m}$）=λ₁（1-x₁，-y₁），
∴-λ₁=1+$\frac{1}{m{y}_{1}}$
同理由得-λ₂=1+$\frac{1}{m{y}_{2}}$，
∴-（λ₁+λ₂）=2+$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
由直線與橢圓方程聯(lián)立，可得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$
代入得∴（λ₁+λ₂）=2+$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{8}{3}$，
∴λ₁+λ₂=-$\frac{8}{3}$
②當直線l與x軸重合時，A（-2，0），B（2，0），H（0，0），λ₁=-$\frac{2}{3}$．λ₂=-2，
∴λ₁+λ₂=-$\frac{8}{3}$11分
綜上，λ₁+λ₂為定值-$\frac{8}{3}$.12分．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓位置關系的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．